Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số

BÀI TOÁN: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x^2 + x + 1}$ trên $\mathbb{R}$.

HƯỚNG DẪN GIẢI: 

Do cần khảo sát tính đơn điệu của hàm số trên $\mathbb{R}$ nên ta sẽ khảo sát trên một khoảng đại diện là $\left(-10;10\right)$.

Trong tính năng Table, ta định nghĩa $f\left(x\right) = \sqrt{x^2 + x + 1}$

Chọn giá trị bắt đầu, kết thúc lần lượt là $-10$; $10$ và bước nhảy là $\left[ {10 - \left( { - 10} \right)} \right]/20$.

Quan sát sự thay đổi của $f\left(x\right)$ khi $x$ tăng dần, ta nhận thấy hàm số có sự chuyển mình từ nghịch biến sang đồng biến khi qua giá trị $x_0\approx-1$.

Sự thay đổi về chiều biến thiên này cho thấy hàm số không đơn điệu trên toàn bộ tập xác định $\mathbb{R}$. Thay vào đó, tồn tại một điểm tới hạn $x_0\approx-1$ mà tại đó hàm số đạt giá trị cực tiểu và đổi chiều từ nghịch biến sang đồng biến.

Ta có thể tìm $x_0$ bằng cách dùng tính năng Solver trong Equation kết hợp với  Derivative (d/dx) được tích hợp trong Func Analysis của Catalog.

Bấmw63để chọn tính năng Solver.

BấmT21 để chọn tính năng Derivative (d/dx)

BấmQ1[)$[để màn hình được hiển thị như ảnh bên dưới.

BấmBrồi nhập giá trị cho $x=-1$ (vì đang tìm $x_0 \approx -1$)

Bấm liên tiếp phímBhai lần để có kết quả của $x_0$.

Vậy $x_0 = -0,5$  và ta dự đoán hàm số giảm trên khoảng $\left(-\infty; -0,5\right)$ và tăng trên khoảng $\left(-0,5; +\infty\right)$.

Ta có thể kiểm tra tính đúng đắn của dự đoán trên thông qua việc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x^2 + x + 1}$ trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - 0,5} \right)$; $\left( { - 0,5; + \infty } \right)$ bằng định nghĩa.