Xét vị trí tương đối và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian

BÀI TOÁN: Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng: $d_{1}$ đi qua $A\left( {1;0;2} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2;1} \right)$; $d_2$ đi qua $B\left( {2;1; - 1} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2; - 1;1} \right)$. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trên và tính khoảng cách giữa $d_{1}$ và $d_{2}$ (nếu có).

HƯỚNG DẪN GIẢI: 

Theo đề bài, ta có: $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2;1} \right)$; $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2; - 1;1} \right)$; $\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1;1 - 0; - 1 - 2} \right) = \left( {1;1; - 3} \right)$.

Nhập lần lượt vào các vectơ A, vectơ B và vectơ C.

Bấm phímw+I1

Bấm phím|2|để chọn chiều không gian của vectơ (vì là không gian $Oxyz$).

Kiểm tra tính cùng phương (Xét song song/trùng)

Để gọi vectơ, ta thực hiện như sau:

Bấm phímqT5để gọi vectơ A

Bấm phímqT6để gọi vectơ B

Để chọn tính năng tích có hướng, ta thực hiện thao tác như sau:

Bấm phímqT2

B

Vì tích có hướng khác $\vec{0}$, nên hai đường thẳng này cắt nhau hoặc chéo nhau.

Kiểm tra tính đồng phẳng (Xét cắt nhau/chéo nhau)

Ta tính tích hỗn tạp $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {AB}$. 

Bấm phímCqT9qT1qT7

  B

Vì $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {AB} = 19 \ne 0$, nên hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ chéo nhau.

Sau khi biết hai đường thẳng chéo nhau, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng công thức: $d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}$, trong đó: ${\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]}$ là tích có hướng của hai VTCP, và ${\overrightarrow {AB} }$ là vectơ nối hai điểm bất kỳ lần lượt nằm trên hai đường thẳng.

Bấm phímqOđể gọi tính năng giá trị tuyệt đối.

B

$\stackrel{}{asdada}=\left(1;2;1\right)$