TỐC ĐỘ X2
TỐC ĐỘ X2
TỐC ĐỘ X2

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI

Bài toán chia kẹo Euler áp dụng vào nhị thức Newton

BÀI TOÁN

Khai triển (1+x+x2+⋯+x2015)3=A0+A1x+…+A2015x2015+…+A6045x6045\left( 1+x+x^2+\cdots +x^{2015}\right)^3 = A_0+A_1x+…+A_{2015}x^{2015}+…+A_{6045}x^{6045}. Tính hệ số A2015A_{2015} của x2015x^{2015}.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Khi nhân phá ngoặc, mỗi số hạng của khai triển sẽ có dạng xi⋅xj⋅xk=xi+j+kx^i \cdot x^j \cdot x^k = x^{i+j+k}, trong đó i,j,ki, j, k là số mũ được chọn lần lượt từ đa thức thứ nhất, thứ hai và thứ ba (0≤i,j,k≤20150 \le i, j, k \le 2015).

Để có được số hạng chứa x2015x^{2015}, ta phải có:

i+j+k=2015i + j + k = 2015

Vì tổng của i,j,ki, j, k bằng 2015 và chúng đều là các số không âm, nên hiển nhiên điều kiện i,j,k≤2015i, j, k \le 2015 luôn luôn được thỏa mãn.

Do đó, hệ số A2015A_{2015} chính bằng số bộ nghiệm nguyên không âm (i,j,k)(i, j, k) thỏa mãn phương trình trên. 

Liên hệ với bài toán chia kẹo Euler:

Có  nn viên kẹo giống hệt nhau chia cho kk đứa trẻ sao cho mỗi đứa trẻ có thể nhận từ 0 viên kẹo trở lên. Hỏi có bao nhiêu cách chia?NN

Đáp án cho bài toán chia kẹo Euler này là   Cn+k−1k−1.\color{blue} \Large \text{ C}^{k-1}_{n+k-1}.: 

 Trong bài toán này n=2015n=2015  tương ứng với tổng số mũ 20152015 mà ta cần phân bổ,  k=3k=3  đứa trẻ   (tương ứng với  3 biến i,j,ki, j, k). Việc tìm số bộ nghiệm nguyên không âm (i,j,k)(i, j, k) sao cho tổng bằng 20152015 hoàn toàn trùng khớp với việc đem 20152015  viên kẹo chia cho 3 đứa trẻ.
Vậy hệ số  bằng A2015A_{2015}  . Để nhập  chữ C ta bấm qTp.



Trên đây ta giải bài toán bằng phương pháp Bài toán chia kẹo Euler. Sau đây ta giải bài toán bằng phương pháp nhị Thức Newton mở rộng.

Nhắc lại nhị thức Newton:

Cho k và n là hai số tự nhiên k⩽nk\leqslant n ta có:  (a+b)n=∑k=0nCnkan−kbk.(a+b)^n=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}C^k_{n}a^{n-k}b^k.

 Nhị thức Newton mở rộng với số mũ âm:

Cho kk  và nn là hai số tự nhiên k⩽nk \leqslant n. Ta có:  (a+b)−n=∑k=0+∞Cn+k−1k(−1)ka−n−kbk.(a+b)^{-n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}C^k_{n+k-1}(-1)^ka^{-n-k}b^k.

 Áp dụng khi a=1, b=−xa=1, \ b=-x. Ta có:  (1−x)−n=∑k=0+∞Cn+k−1k(−1)k(−x)k=∑k=0+∞Cn+k−1kxk.\displaystyle (1-x)^{-n}=\sum_{k=0}^{+\infty}C^{k}_{n+k-1}(-1)^k(-x)^k=\sum_{k=0}^{+\infty}C^{k}_{n+k-1}x^k.

Ta có:   1+x+x2+⋯+x2015=1−x20261−x⇒(1+x+x2+⋯+x2015)3=(1−x2026)3(1−x)−3 1+x+x^2+\cdots +x^{2015}=\dfrac{1-x^{2026}}{1-x} \Rightarrow \left(1+x+x^2+\cdots +x^{2015}\right)^3=\left(1-x^{2026}\right)^3(1-x)^{-3} .

Khi dùng hằng đẳng thức để khai triển (1−x2026)3\left(1-x^{2026}\right)^3sẽ không có số hạng x2015x^{2015}.
Ta có (1−x)−3=∑k=0+∞C3+k−1kxk.(1-x)^{-3}=\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}C^k_{3+k-1}x^k. Vậy hệ số A2015A_{2015}  là    C3+2015−12015=C20172015C^{2015}_{3+2015-1}=C^{2015}_{2017}    .