Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng và song song với đường thẳng trong không gian

BÀI TOÁN: Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $\left(Q\right)$ chứa đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{3}$ và song song với đường thẳng $d':\dfrac{x}{3} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}$.

HƯỚNG DẪN GIẢI: 

Vì mặt phẳng $\left(Q\right)$ chứa $d$ và song song với $d'$, nên vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}}$ của mặt phẳng phải vuông góc với cả hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}}$ và $\overrightarrow {{u_{d'}}}$.

Do đó: $\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right]$(Tích có hướng).

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ sẽ đi qua điểm $M\left( {1; - 2;0} \right)$ thuộc đường thẳng $d$.

Định nghĩa các vectơ (Define Vector), ta thực hiện như sau:

Bấm phímw+I1

Bấm phím|2|để chọn chiều không gian của vectơ (vì là không gian 

$Oxyz$).

Nhập các tọa độ của vectơ.

B

Thực hiện tương tự cho vectơ B.

Bấm phímI2|2|

 B

Tính tích có hướng

Để gọi vectơ, ta thực hiện như sau:

Bấm phímqT5để gọi vectơ A

Bấm phímqT6để gọi vectơ B

Để chọn tính năng tích có hướng, ta thực hiện thao tác như sau:

Bấm phímqT2

B

Để phương trình đẹp hơn, ta chọn $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)$ bằng cách chia tọa độ cho $-7$.

Phương trình mặt phẳng $\left(Q\right)$ đi qua $M\left(1;-2;0\right)$ là:

$1\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y + 2} \right) - 1\left( {z - 0} \right) \Leftrightarrow x - y - z - 3 = 0$

Nhận xét:

Kiểm tra tính song song: Sau khi tìm được $\left( Q \right)$, chúng ta kiểm tra xem $d'$ có nằm trong $\left( Q \right)$ hay không bằng cách lấy một điểm bất kỳ trên $d'$ (ví dụ $N\left( {0;1; - 1} \right)$) thay vào phương trình $\left( Q \right)$. Nếu , thì  thực sự song song với $\left( Q \right)$.