Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt và ứng dụng định lý Viète để tính giá trị biểu thức

BÀI TOÁN: Cho phương trình ${x^2} - 3x - 2 = 0$

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$

b) Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức $M = \dfrac{{x_1^2 - 2}}{{{x_2}}} + \dfrac{{x_2^2 - 2}}{{{x_1}}}$

HƯỚNG DẪN GIẢI:

a) Vì $a\cdot c=1\cdot\left(-2\right)=\left(-2\right)<0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Áp dụng định lí Viète, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = \dfrac{{ - \left( { - 3} \right)}}{1} = 3\\ P = {x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{ - 2}}{1} = - 2 \end{array} \right.$

Biến đổi biểu thức:

$\begin{array}{l} M = \dfrac{{x_1^2 - 2}}{{{x_2}}} + \dfrac{{x_2^2 - 2}}{{{x_1}}}\\ = \dfrac{{x_1^3 + x_2^3 - 2{x_1} - 2{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\\ = \dfrac{{x_1^3 + 3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2 + x_2^3 - 3x_1^2{x_2} - 3{x_1}x_2^2 - 2{x_1} - 2{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\\ = \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} + 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\\ = \dfrac{{{3^3} - 3 \cdot \left( { - 2} \right) \cdot 3 - 2 \cdot 3}}{{ - 2}}\\ = \dfrac{{ - 39}}{2} \end{array}$

Kiểm tra lại kết quả bằng máy tính CASIO fx-880BTG Plus.

Giải phương trình $x^2 - 3x-2=0$ để tìm nghiệm.

Bấm phímw621

 BB

Gán các nghiệm lần lượt vào biến nhớ A và B.

Bấm phím'|1

Nhập biểu thức và tính giá trị biểu thức với biến A và B, ta thực hiện như sau:

Bấm phímw1

Nhập biểu thức $\dfrac{{{A^2} - 2}}{B} + \dfrac{{{B^2} - 2}}{A}$

Bấm phímBđược kết quả: