Tìm dư của phép chia tổng luỹ thừa của hai số vô tỉ liên hợp cho một số nguyên tố c (Bài 2).

BÀI TOÁN

HƯỚNG DẪN GIẢI

Xét dãy số Lucas $u_n=(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$, ta có $u_0=2, u_1=2a, S=2a, P=a^2-b$.

Dãy số quy nạp  $u_n=Su_{n-1}-Pu_{n-2}$, dãy số truy hồi ngược $Pu_{n-2}=Su_{n-1}-u_n$.

Bây giờ ta tính $\left(\dfrac{10}{2029} \right)$.

Ta có:  $\left(\dfrac{10}{2029}\right)=\left(\dfrac{2}{2029}\right)\times \left(\dfrac{5}{2029}\right)$. Vậy $\left(\dfrac{10}{2029} \right)=-1$.   Trong trường hợp này ta có: $\left\lbrace\begin{array}{llll}u_c&\equiv S&=u_1 &\quad (\text{mod}\ c)\\ u_{c+1} &\equiv 2P&=2(a^2-b) &\quad (\text{mod}\ c) \end{array} \right.$

Cụ thể trong bài toán đã cho

Mở một bảng tính, bấm w4  nhập $u_{2030}, u_{2029}$b lần lượt vào $A_1$ và $A_2$   , từ $A_3$ đến $A_{45}$bấm I1 điền công thức       

(Công thức đầy đủ $\color{magenta}-6A_2+A_1-2029 \text{Int} \dfrac{-6A_2+A_1}{2029}$) và để nhập hàm Int ta bấm qTR0.