Tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc ba

BÀI TOÁN

HƯỚNG DẪN GIẢI

Phương trình  tiếp tuyến của $(C)$ tại $M_0$:  $d_0: y=k_0(x-x_0)+y_0$, trong đó $k_0=y'(x_0), y_0=y(x_0)$.

Phương trình  hoành độ  giao điểm  của $(C)$ và $d_0$: $x^3-2022x=k_0(x-x_0)+y_0\qquad (1)$

Vì phương trình  này có nghiệm kép $x=x_0$ nên lập sơ đồ Horner ta tìm được  $x_1$: 

Vậy $x_1=-2x_0$.

Tiếp tục như thế ta có $x_n=-2x_{n-1}$. Từ đó suy ra $x_n=(-2)^{n-1}x_0$. (chú ý dãy số $(x_n)$ là cấp  số nhân  công bội $-2$, số hạng đầu tiên là $x_0$ và $x_n$ là số hạng thứ $n+1$).

Ta giải bất phương trình  $0,3(-2)^{n}>2022$.

Nếu n là số tự nhiên lẻ thì  vế trái âm nên bất phương trình  vô nghiệm. Vậy n là số tự nhiên chẵn.

Khi đó bất phương trình  thành $0.3.2^n>2022 \Leftrightarrow n>$ .

Số tự nhiên chẵn nhỏ nhất thoả điều kiện trên là $n=14$ .

Tương tự như trên ta có $x_n=(-2)^{n-1}x_1$. Vì $x_n$ là số tự nhiên (chính xác hơn là số nguyên dương) và $x_1>0$ nên $n$ phải là số tự nhiên lẻ. Khi đó $x_n=2^{n-1}.x_1$.

$x_n$ có $2024$ chữ số khi và chỉ khi   $\left[\log x_n\right]=2023 \Leftrightarrow \left[(n-1)\log 2+\log x_1\right]=2023$

Để giải phương trình  "phần nguyên" này ta tìm số tự nhiên lẻ nhỏ nhất n sao cho     $(n-1)\log 2+\log 3 \geqslant 2023$.          $n \geqslant 6719,675573\dots$

$n⩾6719,675573\dots$

Vì $n$ là số tự nhiên lẻ  nhỏ nhất thoả điều kiện trên nên $n=6721$.