TỐC ĐỘ X2
TỐC ĐỘ X2
TỐC ĐỘ X2

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI

Sự tương giao của đường cong và đường thẳng nằm ngang

BÀI TOÁN

Cho hàm số    có đồ thị . Đường thẳng   cắt  tại ba điểm   theo thứ tự từ trái sang phải. Tính giá trị của để   (chính xác đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy).   

Trước hết ta quan sát đồ thị của hàm số  bậc ba và đường thẳng theo  đáp án.

Ta thấy để khớp với đáp án ta thay điều kiện  thành điều kiện  .  

Ta điều chỉnh đề bài như sau:

Cho hàm số y=x3−3x−1 y=x^3-3x-1 có đồ thị (C)(C). Đường thẳng y=m(m>0)y=m (m>0) cắt (C)(C) tại ba điểm A,B,CA, B, C theo thứ tự từ trái sang phải. Tính giá trị của mm để AB=12BCAB=\dfrac12BC (chính xác đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy).

HƯỚNG DẪN GIẢI 

Phương trình  hoành độ  giao điểm  x3−3x−1−m=0x^3-3x-1-m=0. Nếu phương trình  này có ba nghiệm x1,x2,x3 (x1<x2<x3)x_1, x_2, x_3 \ (x_1<x_2<x_3)  thì yêu cầu của bài toán dẫn đến hệ 4 phương trình:

{x1+x2+x3=0x1x2+x2x3+x3x1=−3x1x2x3=1+mx2−x1=12(x3−x2)\left\lbrace\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3=0\\ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-3\\ x_1x_2x_3=1+m\\x_2-x_1=\dfrac12(x_3-x_2)\end{array} \right.

⇔{x1+x2+x3=0(1)x1x2+x2x3+x3x1=−3(2)x1x2x3=1+m(3)2x1−3x2+x3=0(4)\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{ll}x_1+x_2+x_3=0&(1)\\ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-3&(2)\\ x_1x_2x_3=1+m&(3)\\2x_1-3x_2+x_3=0&(4)\end{array} \right.
Lấy (1)−(4)(1)-(4) suy ra

x2=x14x_2=\dfrac{x_1}{4}.  Thay lại vào (1) ta được  x3=−5x14x_3=-\dfrac{5x_1}{4}.  

(2)⇒x1(x2+x3)+x2x3=−3⇔−x12−516x12=−3⇒x12=(2) \Rightarrow x_1(x_2+x_3)+x_2x_3=-3 \Leftrightarrow -x_1^2-\dfrac5{16}x_1^2=-3 \Rightarrow x_1^2=. 

Ta thấy nếu   thì x2>0,x3<0x_2>0, x_3<0, vi phạm điều kiện x1<x2<x3x_1<x_2<x_3. Vậy x1=x_1= . Thay vào (3) ta có m=m=     .