Hình học không gian: Tích có hướng và diện tích tam giác từ tọa độ ba điểm

BÀI TOÁN: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1;2; - 1} \right)$, $B\left( {3;0;2} \right)$ và $C\left( {0;1;4} \right)$. Tính tọa độ tích có hướng $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$  và diện tích tam giác $ABC$.

HƯỚNG DẪN GIẢI: 

Định nghĩa vectơ chỉ phương:

${\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right) = \left( {2; - 2;3} \right)}$; ${\overrightarrow {AC} = \left( {{x_C} - {x_A};{y_C} - {y_A};{z_C} - {z_A}} \right) = \left( { - 1; - 1;5} \right)}$

Diện tích tam giác: ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$  (bằng nửa độ dài của vectơ tích có hướng).

Định nghĩa các vectơ (Define Vector), ta thực hiện như sau:

Bấm phímw+I1

Bấm phím|2|để chọn chiều không gian của vectơ (vì là không gian 

$Oxyz$).

Nhập các tọa độ của vectơ.

B

Thực hiện tương tự cho vectơ B.

Bấm phímI2|2|

 B

Tính tích có hướng $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$

Để gọi vectơ, ta thực hiện như sau:

Bấm phímqT5để gọi vectơ A

Bấm phímqT6để gọi vectơ B

Để chọn tính năng tích có hướng, ta thực hiện thao tác như sau:

Bấm phímqT2

B

Tính diện tích tam giác $ABC$, $S = \dfrac{1}{2}\left| {{\rm{Ans}}} \right|$.

Bấm phímqOđể gọi tính năng giá trị tuyệt đối.
Bấm phímqT2để gọi lại giá trị tích có hướng $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$.

 B

Khác với tích vô hướng (Dot Product) cho ra một con số, tích có hướng (Cross Product) của hai vectơ $\vec u$ và $\vec v$ cho ra một vectơ mới $\vec w$ có đặc điểm: $\vec w$ vuông góc với cả $\vec u$ và $\vec v$. Độ dài của $\vec w$ bằng diện tích của hình bình hành tạo bởi $\vec u$ và $\vec v$.

Chúng ta cần ghi nhớ 3 ứng dụng quan trọng nhất để áp dụng vào giải toán trắc nghiệm:

Lưu ý tránh nhầm lẫn:

Tính thứ tự: $\left[ {\vec u,\vec v} \right] = - \left[ {\vec v,\vec u} \right]$. Tuy nhiên, khi tính diện tích hay thể tích (có dấu giá trị tuyệt đối/độ dài), thứ tự này không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng.