Tính khoảng cách và góc trong hình chóp

BÀI TOÁN: Cho tam giác $ABC$ có $BC=5$, $CA=6$, $AB=7$ và trọng tâm $G$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right)$ tại $G$, lấy điểm $S$ sao cho $SG=6$. Tính gần đúng (chính xác đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy):

a) Độ dài các cạnh $SA$, $SB$, $SC$

b) Khoảng cách từ $A$  đến mặt phẳng $\left(SBC\right)$.

c) Góc giữa hai mặt phẳng $\left(SAB\right)$ và $\left(SBC\right)$ (ghi dưới dạng độ, phút, giây).

HƯỚNG DẪN GIẢI: 

a) Do $SG \bot \left( {ABC} \right)$ nên trước hết ta cần tính các độ dài $GA$, $GB$, $GC$. Dùng công thức trung tuyến ta tính được

$GA = \dfrac{2}{3}{m_a} = \dfrac{{\sqrt {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} }}{3}$.

Tương tự cho $GB$ và $GC$. Đây là bài toán hình học có rất nhiều yếu tố cần tính, do đó ta cần tận dụng tốt khả năng gán tối đa 9 biến của máy tính.

Gán các giá trị độ dài của $BC$, $CA$, $AB$ vào các biến $D$, $E$, $F$. 

Bây giờ, lần lượt dùng công thức tính $GA$, $GB$, $GC$ rồi gán giá trị lần lượt vào $A$, $B$, $C$. Vì ta đã gán các biến theo đúng thứ tự nên chú ý tới tính đối xứng sẽ giúp tránh nhầm lẫn khi bấm máy.

 gán vào $A$.

 gán vào $B$.

 gán vào $C$ 

Bây giờ, chỉ cần dùng giá trị đã gán ở các biến $A$, $B$, $C$ và áp dụng định lý Pytago để tính độ dài các cạnh $SA$, $SB$, $SC$. Sau khi tính xong ta gán đè dữ liệu lên $A$, $B$, $C$ vì dữ liệu cũ không còn cần thiết cho các bước sau.

 gán vào $A$, là giá trị của $SA$.

 gán vào $B$, là giá trị của $SB$.

 gán vào $C$, là giá trị của $SC$.

Đầu tiên, dùng công thức Heron tính diện tích tam giác $ABC$, gán giá trị vào $z$. Sau đó tính $V_{S.ABC}$ và gán đè giá trị lên $z$. 

Tiếp tục dùng công thức Heron tính diện tích tam giác $SBC$, gán giá trị vào biến $x$. Sau đó tính chiều cao cần tìm $h = \dfrac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{SBC}}}}$, gán giá trị này vào biến $y$.

 

Dùng tính năng Triangle để tính độ dài $AH$. Nhập độ dài các cạnh của tam giác $SAB$ để tìm các góc, rồi dùng dữ kiện thu được để tính $AH$.

Bấm phímwP314

(nhập theo đúng thứ tự của Triangle ABC, thay dữ liệu của C bằng S)

Để tính chiều cao $AH$, quay lại các chức năng tính toán tam giác bằng cách bấm phím`2. Ta thấy lúc này các giá trị cạnh và góc của tam giác $ABC$ tính toán bên trên đã được tự động sử dụng để làm dữ liệu đầu vào, ta không cần nhập gì thêm, chỉ cần bấmBđể xuất kết quả.

Gán giá trị của $AH$ vào biến $x$. Từ đây tính được góc cần tìm $\widehat {AHK} \approx {64^\circ }24'18''$.