Quan hệ vuông góc và góc giữa hai mặt phẳng trong không gian

BÀI TOÁN: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - z + 5 = 0$ và mặt phẳng $\left( Q \right):2x -y +1 = 0$

Chứng minh mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right)$.

Tính góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt phẳng $\left( R \right): x+2y+2z-1=0$.

HƯỚNG DẪN GIẢI: 

Định nghĩa các Vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right)$,$\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 1;0} \right)$; $\overrightarrow {{n_R}} = \left( {1;1;2} \right)$. 

Định nghĩa các vectơ (Define Vector), ta thực hiện như sau:

Bấm phímw+I1

Bấm phím|2|để chọn chiều không gian của vectơ (vì là không gian $Oxyz$).

Nhập các tọa độ của vectơ.

Chứng minh $\left(P\right)\perp\left(Q\right)$: Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng 0.

Để gọi vectơ, ta thực hiện như sau:

Bấm phímqT5để gọi vectơ A

Bấm phímqT6để gọi vectơ B

Để chọn tính năng tích có hướng, ta thực hiện thao tác như sau:

Bấm phímqT1

B

Kết luận: Vì $\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_Q}} = 0$ nên $\left(P\right)\perp\left(Q\right)$ (đpcm).

Tính góc giữa $\left(P\right)$ và $\left(R\right)$: Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc nhọn giữa hai vectơ pháp tuyến.

Để chọn tính năng góc giữa hai vectơ, ta thực hiện thao tác như sau:

Bấm phímqT3

Để gọi vectơ, ta thực hiện như sau:

Bấm phímqT5để gọi vectơ A

Bấm phímqT6để gọi vectơ B

Bấm phímq)để gọi dấu phẩy ngăn cách 2 vectơ

B

Nhận xét:

Về kết quả góc: Trong bài này, góc giữa $\overrightarrow {{n_P}}$ và $\overrightarrow {{n_R}}$ là $90^\circ$, nên góc giữa hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(R\right)$ cũng là $90^\circ$.

Lưu ý: Nếu máy trả về góc tù (ví dụ $120^\circ$), thì góc giữa hai mặt phẳng phải là góc nhọn kề bù với nó ($180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$). Vì quy ước góc giữa hai mặt phẳng $\varphi \in \left[ {0^\circ ;90^\circ } \right]$

Kiểm tra đơn vị: Luôn đảm bảo máy đang ở chế độ1Degree (D) để kết quả trả về là độ thay vì2Radian (R).