Diện tích phần chung của hai hình tròn

BÀI TOÁN

Cho đường tròn (O) tiếp xúc với các cạnh của hình vuông ABCD cạnh 6cm . Tô màu phần mặt phẳng được giới hạn bởi đường tròn tâm B bán kính 6 cm, đường tròn tâm D bán kính 6cm và đường tròn (O) như hình vẽ. Tính diện tích phần tô đen (chính xác đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy).

HƯỚNG DẪN GIẢI

Trước hết ta có công thức sau đây tìm diện tích phần chung của hai hình tròn: Hình tròn tâm $O$ bán kính $r$ và hình tròn tâm $I$ bán kính $R$ .

Diện tích phần chung của hai hình tròn bằng diện tích của hình quạt $OAmB$ $O$ cộng diện tích của hình quạt $IAnB$ $I$ trừ đi diện tích của tứ giác $AOBI$ .

Để tìm diện tích hình quạt $OAmB$ ta tính góc ở tâm $\widehat{AOB}=2\widehat{AOI}$ .

Để tìm diện tích hình quạt $IAnB$ ta tính góc ở tâm $\widehat{AIB}=2\widehat{AIO}$ . $\hat{A O B} = 2 \hat{A O I}$

Trên máy tính Casio fx-880BTG PLUS ta gọi tính năng “Tìm ba góc của một tam giác” bằng cách bấm wP314 . Nếu ta nhập theo thứ tự

$A O, O I, I A$ lần lượt $A B, B C, C A$ (mặc định) thì ta lấy góc B để chỉ $\hat{A O I}$ và lấy góc C để chỉ góc $\hat{A I O}$ . Sau đó nếu cần ta có thể gán hai kết quả này vào biến nhớ.

Tóm lại Diện tích phần chung của hai hình tròn bằng

trong đó $A$ và $B$ đo bằng radian.

Ta có hai hình tròn: Hình tròn tâm $O$ bán kính $3$ cm và hình tròn tâm $B$ bán kính $6$ cm, khoảng cách giữa hai tâm $OB=3\sqrt2$ cm.

Ta thấy $S_1$ bằng diện tích hình tròn tâm bán kính $3$ cm trừ đi diện tích phần chung của hai hình tròn.

Bấm wP314. nhập 3 cạnh $MB, BO, OM$ của tam giác

lần lượt lưu vào A và B. Vậy diện tích phần tô màu bằng:

Lưu ý: Máy tính xuất ra hai góc B và C, nhưng trong công thức hai góc đó ta ký hiệu là A và B.

Máy tính có tính năng tìm diện tích hình quạt và diện tích tam giác khi biết cạnh và hai góc đáy. Nhưng với bài toán

này dùng công thức sẽ tính toán thuận tiện hơn.

Để gọi tính năng tính ba góc của tam giác khi nhập vào ba cạnh ta bấm wP314
Tính diện tích hình quạt tròn ta bấm wP363
Tính diện tích tam giác khi biết cạnh và hai góc đáy: wP316
Khi bấm phím, ta có có thể bấm tuần tự, vừa bấm vừa quan sát để chọn số thích hợp.

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI

Diện tích phần chung của hai hình tròn