TỐC ĐỘ X2
TỐC ĐỘ X2
TỐC ĐỘ X2

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI

Định lý phần dư Trung Hoa cho đa thức bậc 4

BÀI TOÁN


Phương pháp: Áp dụng khi hai đa thức chia x2+1x^2+1 và x2+2x^2+2 nguyên tố cùng nhau (để đơn giản ta xét khi hai tam thức bậc hai này hoặc vô nghiệm hoặc không có nghiệm chung).

  1. Tìm một đa thức f(x)\color{magenta} f(x) bậc 3 cũng có tính chất chia có dư như P(x).
  2. Khi đó P(x)=f(x)+k(x2+1)(x2+2)\color{magenta} P(x)=f(x)+k(x^2+1)(x^2+2) với k=P(1)−f(1)(12+1)(12+2)\color{magenta} k=\dfrac{P(1)-f(1)}{(1^2+1)(1^2+2)}

 HƯỚNG DẪN GIẢI

Ta có P(x)=(x2+1)(ax+b)+2x−1=(x2+2)(ax+c)+3x−1 ∀xP(x)=(x^2+1)(ax+b)+2x-1=(x^2+2)(ax+c)+3x-1 \ \forall x. Đồng nhất hệ số ta có hệ phương trình  

{b=ca+2=2a+3b−1=2c−1\left\lbrace\begin{array}{l}b=c\\ a+2=2a+3\\ b-1=2c-1\end{array} \right.

Bấm  w612nhập hệ số vào hệ phương trình        . Vậy hệ có nghiệm duy nhất {a=−1b=0\left\lbrace\begin{array}{l}a=-1\\ b=0\end{array} \right.   Do đó f(x)=(x2+1)(−x)+2x−1.

Khi đó đa thức bậc 4 cần tìm có dạng  P(x)=f(x)+k(x2+1)(x2+2)P(x)=f(x)+k(x^2+1)(x^2+2) với k=P(1)−f(1)(12+1)(12+2)k=\dfrac{P(1)-f(1)}{(1^2+1)(1^2+2)} (thay x=1x=1 vào biểu thức P(x)P(x) để tính kk).

Bấm Q3nhập hàm số    , bấm  w1 để tính k=k=   . Bấm Q4nhập hàm số  P(x)=P(x)= . Sau đó tính P(2)=10073P(2) =10073 như sau:

 



BÀI TẬP TƯƠNG TỰ