Tìm dư của phép chia số $(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$ cho $c$, trong đó $a, b, c$ là các số tự nhiên, $\large \color{blue}c$ là số nguyên tố  và $b$ không chính phương.

 Để tính $\left(\begin{array}{l}b\\ c\end{array}\right)$  ta xét các trường hợp thường gặp với $c$ là số nguyên tố $p$.  (Xem thêm cách tính trong các trường hợp phức tạp hơn.)

Tìm dư của phép chia số $(2+\sqrt{3})^{2027}+(2-\sqrt{3})^{2027}$ cho 2039.

Xét dãy số Lucas $u_n=(2+\sqrt3)^{n}+(2-\sqrt3)^{n}$, ta có: $u_0=2, u_1=4, S=4, P=1$, dãy số quy nạp $u_n=4u_{n-1}-u_{n-2}$, dãy số truy hồi ngược
.   Số chia $c=2039$ là số nguyên tố. 
Ta tính $\left(\dfrac{3}{2039}\right)=(-1)^{\big[\frac{2039+1}{6} \big]}.$    Vậy $\left(\dfrac{3}{2039}\right)=1$ (thoả điều kiện).

Để nhập hàm Int trong màn hình Phép tính thông thường  ta bấm qTR4.

Do đó

Bấm   w4, nhập 4 và 2 lần lượt vào $A_1, A_2$. Từ $A_3$ đến $A_{45}$  bấm I1để điền công thức        .

Để chèn hàm Int vào bảng tính ta bấm qTR0 . Công thức đầy đủ của điền công thức là: $\large 4A_2-A_1-2039 \text{Int}((4A_2-A_1)\div2039) .$Bắt đầu là $u_{2029}$ nên sau 13 bước ta sẽ có $u_{2027}$ ở $A_{13}$.

 Vậy dư của phép chia số $(2+\sqrt3)^{2027}+(2-\sqrt3)^{2027}$ cho 2039 là 843.