Tính thể tích và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

BÀI TOÁN: Cho tứ diện $ABCD$ có $BC = CD = DB = 1$, $AB=2$, $AC = \sqrt 2$, $AD=\sqrt 3$. Tính (chính xác đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy):

a) Thể tích của khối tứ diện $ABCD$.

b) Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.  

HƯỚNG DẪN GIẢI: 

a) Để tính thể tích của khối tứ diện $ABCD$, ta cần tính chiều cao $AI$ kẻ từ đỉnh $A$ của nó. Muốn vậy, cần phải xác định được độ dài chiều cao $AH$ của tam giác $ABC$ và góc nhị diện $\left[ {A,BC,D} \right]$ chính là góc $\widehat {AHI}$.

Để tính góc $\widehat {AHI}$, ta đưa về các góc của tứ diện tại đỉnh $B$ bằng cách kéo dài $HI$ cắt đường thẳng $BD$ tại $K$, sau đó áp dụng hai lần định lý hàm số cosin:

$\begin{array}{l} \cos \widehat {AHI} = \dfrac{{H{A^2} + H{K^2} - A{K^2}}}{{2AH.HK}}\\ = \dfrac{{H{A^2} + H{K^2} - B{A^2} - B{K^2} + 2BA.BK.\cos \widehat {ABK}}}{{2HA.HK}}\\ = \dfrac{{BA}}{{HA}} \cdot \dfrac{{BK}}{{HK}} \cdot \cos \widehat {ABK} - \dfrac{{BH}}{{HA}} \cdot \dfrac{{BH}}{{HK}}\\ = \dfrac{{\cos {B_1} - \cos {B_2}\cos {B_3}}}{{\sin {B_2}\sin {B_3}}} \end{array}$

với ${B_1} = \widehat {ABD}$ và ${B_2} = \widehat {DBC}$, ${B_3} = \widehat {CBA}$. 

Ta lần lượt nhập các dữ kiện của tam giác $ADB$, $DBC$, $CBA$ để giải tam giác tìm các góc $B$ tương ứng. Chú ý, để tránh nhầm lẫn, luôn chọn ký tự B của máy tính cho đỉnh B của các tam giác đang xét.

Bấm phímwP314để giải tam giác $ABD$, tính góc $B_1$:

Bấm phímCđể quay trở lại màn hình nhập tham số và tiếp tục giải tam giác $DBC$, tính góc $B_2$:

Bấm phímCđể quay trở lại màn hình nhập tham số và tiếp tục giải tam giác $CBA$, tính góc $B_3$:

Đối với tam giác $CBA$, ta thực hiện thêm thao tác`2để tìm chiều cao $AH$ và gán giá trị này vào $y$.

Tiếp theo tính góc nhị diện $\widehat {AHI}$ theo công thức như bên trên.

B

Từ đây ta tính được thể tích cần tìm ${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}AI \cdot {S_{BCD}} = \dfrac{1}{3}AH \cdot \sin \widehat {AHI} \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}$. 

Đối với câu a này, người ta có thể dùng một công cụ nâng cao hơn đó là công thức Cayley-Menger (chứng minh bằng cách khai triển các thao tác đã thực hiện bên trên để biến đổi về công thức cuối cùng chỉ chứa toàn dữ liệu về các cạnh). Cụ thể, nếu khối tứ diện có $a$, $b$, $c$ là độ dài ba cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh, và $d$, $e$, $f$ là độ dài của các cạnh đối diện tương ứng thì thể tích của nó được tính bằng công thức

$V = \sqrt {\dfrac{{\det M}}{{288}}}$

với $M=\begin{bmatrix} 2a^2 & a^2 + b^2 -f^2 & a^2 + c^2 - e^2\\ a^2 +b^2 - f^2 & 2b^2 & b^2 + c^2 -d^2\\ a^2+c^2-e^2 & b^2 + c^2 -d^2 & 2c^2 \end{bmatrix}$.

Thực hiện thao tác trên máy tính bằng cách làm như sau: đầu tiên gán giá trị độ dài các cạnh của tứ diện vào các biến A, B, C, D, E, F theo đúng thứ tự (ở đây chọn đỉnh  là đỉnh xuất phát ba cạnh để lưu độ dài vào A, B, C).

Chọn kiểu nhập liệu cho ma trận A ở dạng 3 dòng và 3 cột, bấm phímI1

Dùng các biến đã gán để nhập dữ liệu vào ma trận A.

Sau khi nhập hoàn tất, bấmBvà thực hiện tiếp thao tác xuất kết quả sau đây:

Dùng tổ hợp phímqT4để gọi hàm tính định thức của ma trận (Det) thông qua danh mục tổng hợp trực quan các hàm chức năng của máy tính.

 

Gán kết quả tính toán $V_{ABCD}$ vào biến nhớ $z$ để dùng cho câu b

b) Để tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, người ta dùng công thức Crelle.

${S_C} = 6VR$

trong đó $V$ là thể tích của khối tứ diện $ABCD$, còn $S_C$ là diện tích của tam giác Crelle với các cạnh có độ dài bằng tích các cặp cạnh đối diện $AB.SC$, $BC.SA$ và $CA.SB$ (chứng minh xin dành cho bạn đọc).

Dùng công thức Heron để tính diện tích tam giác Crelle. Ta vào chức năng tính toán diện tích tam giác $ABC$ bằng cách bấm phímwP32

Sử dụng các biến A, B, C, D, E, F đã được gán giá trị độ dài của các cạnh tứ diện để nhập liệu:

Gán vào biến nhớ $y$ và xuất kết quả tính bán kính $R$ cần tìm: $R\approx1,07$.