TỐC ĐỘ X2
TỐC ĐỘ X2
TỐC ĐỘ X2

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI

Khoảng cách ngắn nhất giữa một hyperbol và một nửa đường tròn

Cho MM nằm trên (H):y=x2+4x+5x+1(H): y=\dfrac{x^2+4x+5}{x+1}  và NN nằm trên nửa đường tròn  xác định bởi  (C):y=2+−x2−2x+4,525(C): y=2+\sqrt{-x^2-2x+4,525}. Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn MN (chính xác đến hàng thập phân thứ hai sau dấu phẩy).

 0,760,76

HƯỚNG DẪN GIẢI


M(m;m2+4m+5m+1)M\left(m;\dfrac{m^2+4m+5}{m+1} \right). Nửa đường tròn  tâm C(−1;2)C(-1;2) bán kính R=R=   (gán vào A).

Ta tìm điểm MM trên (H)(H) sao cho CMCM ngắn nhất.

Ta biết rằng CMCM ngắn nhất khi và chỉ khi  tiếp tuyến tại MM của (H)(H) song song  với tiếp tuyến tại NN của (C)(C) và do đó tiếp tuyến tại MM của (H)(H) vuông góc  với đường thẳng CMCM.

Hệ số góc của đường thẳng CM: k1=yM−yCxM−xCk_1=\dfrac{y_M-y_C}{x_M-x_C}.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M của (H): k2=ddx(x2+4x+5x+1)∣x=mk_2=\left.\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^2+4x+5}{x+1}\right)\right|_{x=m}  .

Gán hàm số  y=f(x)=x2+4x+5x+1y=f(x)=\dfrac{x^2+4x+5}{x+1}  vào biến nhớ . 

Bấm w63giải phương trình k2.k1=−1k_2.k_1=-1 

 , kết quả  

Vậy khoảng cách ngắn nhất của đoạn MNMN bằng IM−R=IM-R=   ≈0,76\approx 0,76 .



Lưu ý: 

  1.  Phương trình  nửa đường tròn  là {(x+1)2+(y−2)2=1+4,525y⩾2\left\lbrace\begin{array}{l}(x+1)^2+(y-2)^2=1+4,525\\ y \geqslant 2\end{array} \right. nên xác định được  tâm và bán kính như trong bài giải.
  2. Chấp nhận rằng phương trình  k1.k2=−1k_1.k_2=-1 có nghiệm duy nhất nên sau khi giải được  phương trình  ra nghiệm x=0,189207115…x=0,189207115\dots ta không xét thêm nghiệm nào khác.