Dãy số Lucas

HƯỚNG DẪN GIẢI 

Hướng 1: Ta có:

 $(4+\sqrt5)^{27}+(4-\sqrt5)^{27}=\left[(4+\sqrt5)^{14}+(4-\sqrt5)^{14}\right]\left[(4+\sqrt5)^{13}+(4-\sqrt5)^{13}\right]-8.11^{13}$

Gán các số liệu vào biến nhớ:

      

Thực hiện một phép tính kép:  

Hướng 2:   Đặt   $u_n=(4+\sqrt5)^n+(4-\sqrt5)^n$. Bài toán yêu cầu tìm dư của phép chia số $u_{27}$ cho $2026$.

Xét dãy số quy nạp (gọi là dãy số Lucas) $u_1=8, u_2=2(16+5), \quad u_n=Su_{n-1}-Pu_{n-2} \ (n \geqslant 3)$, với $S$ và $P$ lần lượt là tổng và tích của hai cơ số, nghĩa là: $S=8, P=11$.

Ta sử dụng bảng tính, bấm HOME 4   , nhập $u_1$ và $u_2$ vào bảng tính  , từ $u_3$ đến $u_{27}$ điền công thức:   (công thức đầy đủ là $=8A2-11A1-2026\text{Int}((8A2-11A1)\div 2026))$ , kết quả .

Hướng 3: Tìm dư của phép chia số $u_{27}$ $u_{2027}$ cho $2026$. Phần này chỉ dành riêng cho GV muốn tìm hiểu thêm về dãy số Lucas và ký hiệu Legendre.

Số 2026 là tích của hai số nguyên tố cùng  nhau là 2 và 1013. Ta tìm số x sao cho $\left\lbrace\begin{array}{l}x\equiv u_{2027} \ (\text{mod}\ 2) \\ x\equiv u_{2027} \ (\text{mod}\ 1013) \end{array} \right.$.

Khi khai triển  và  thì phần số nguyên của chúng giống nhau và phần vô tỉ của chúng đối nhau nên $u_n$ chia hết cho 2. Nghĩa là $u_{2027} \equiv 0 \ (\text{mod}\ 2)$  .

$u_{2027}=u_{1014}.u_{1013}-8.11^{1013} =u_{1014}.u_{1013}-8.\underbrace{11^{1012}}_{\equiv\ 1\ (\text{mod}\ 1013) }.11 \equiv 22.8-11.8=88 \ (\text{mod}\ 1013)$. 

Tóm lại ta có hệ phương trình  đồng dư  $\left\lbrace\begin{array}{ll} x\equiv 0 \ &(\text{mod}\ 2)\\ x \equiv 88 \ &(\text{mod}\ 1013) \end{array}\right.$.

Theo định lý phần dư Trung Hoa hệ có nghiệm duy nhất  ,

trong đó  là nghịch đảo của 2 theo modulo 1013. Ta có .

vậy    $x\equiv 88\ (\text{mod}\ 2026)$ .

Kết luận dư của phép chia số  .

Lưu ý: