Sơ đồ Horner và phép chia đa thức trên bảng tính

BÀI TOÁN

Tìm thương và dư của phép chia đa thức $P(x)=2x^4-9x^3+13x^2+131x+500$ cho đa thức $Q(x)=x^2-x-20$

dư $37x+1420$

HƯỚNG DẪN GIẢI

Ta có $x^2-x-20=(x+4)(x-5)$ vì vậy ta sẽ chia $P(x)$ cho $x+4$ để tìm thương và dư, sau đó lấy thương chia tiếp cho $x+5$ ta sẽ tìm được thương và dư cuối cùng trên bảng tính.

1. Dùng bảng tính lập sơ đồ Horner cho $\color{blue} 2x^4-9x^3+13x^2+131x+500$ với $\color{blue} \alpha=-4$ .

Mở một bảng tính, nhập $-4$ vào A1, các hệ số của đa thức bị chia vào A2, A3, A4, A5, A6.

Đưa con trỏ tới B2 nhập lại số 2 ("đầu rơi"), con trỏ xuống B3 tại đây ta bấm TOOLs 1 (điền công thức) như sau (chú ý dấu $ để giá trị A1 không di chuyển xuống phái dưới khi sao chép công thức):

đổi khẩu quyết "nhân ngang-cộng chéo" thành "NHÂN XUỐNG CỘNG CHÉO", chú ý cố định B1 bằng B$1 để giá trị $B1=-4$ không trôi xuống khi sao chép công thức. .

Kết quả: $\dfrac{2x^4-9x^3+13x^2+131x+500}{x+4}=2x^3-17x^2+81x-193+\dfrac{1272}{x+4}.$

2. Thực hiện chia đa thức bậc 4 cho đa thức bậc 2 trên bảng tính.

Để đơn giản ta xét khi mẫu là tam thức bậc 2 (hệ số cao nhất bằng 1) và có hai nghiệm, như trong toán này hai nghiệm lần lượt là $-4$ và $5$ . Ta nhập số liệu như trong bảng tính dưới đây:

Đưa con trỏ tới B2 và C2 nhập số hai số 2 (khẩu quyết: "đầu rơi") .

Đưa con trỏ tới B3 điền công thức: .

Kết quả:

Thương sẽ bằng $2x^2-7x+46$ , dư $37x+$ hệ số tự do, chú ý hệ số tự do không phải là 1457 trên bảng tính mà là $37\times 4+1272 =1420$ nên ta bấm TOOLS 3 để điều chỉnh như sau .

(thay C$1 thành -B$1 - xem giải thích thêm về 1420 ở dưới).

Tóm lại $\dfrac{2x^4-9x^3+13x^2+131x+500}{x^2-x-20}=2x^2-7x+46+\dfrac{37x+1420}{x^2-x-20}$ .

Giải thích kết quả: Với $\alpha$ và $\beta$ là hai nghiệm của mẫu số.

Ban đầu ta có: $\color{red} a_2x^4+a_3x^3+a_4x^2+a_5x+a_6=q_1(x)(x-\alpha)+b_6$ .

$2 x^{4} - 9 x^{3} + 13 x^{2} + 131 x + 500 = (2 x^{3} - 17 x^{2} + 81 x - 193) (x + 4) + 1272$

Sau đó: $\color{red} q_1(x)=q_2(x)+c_5$ .

$2 x^{3} - 17 x^{2} + 81 x - 193 = (2 x^{2} - 7 x + 46) (x - 5) + 37$

Suy ra $\color{red} a_2x^4+a_3x^3+a_4x^2+a_5x+a_6=\left[(q_2(x)(x-\beta)+c_6)\right](x-\alpha)+b_6$ $)] (x - α) + b_{6}$

$2x^4-9x^3+13x^2+131x+500=\left[(2x^2-7x+46)(x-5)+37\right](x+4)+1272$

Vậy hệ số tự do dư của phép chia là

\color{blue} -\alpha c_6+b_6

, nhưng trên bảng tính do sơ đồ Hor-ner của

\color{blue} q_(x)

hệ số này bị biến thành

\color{blue}-\beta c_6+b_6

, do đó phải có sự điều chỉnh thích hợp.

Bài tập tương tự. Tìm thương và dư của phép chia đa thức (bậc 5) $\color{blue} P(x)=3x^5+2x^4-9x^3+13x^2+131x+500$

$P (x) = 3 x^{5} + 2 x^{4} - 9 x^{3} + 13 x^{2} + 131 x + 500$ cho $\color{blue} x^2-x-20$ .

Đáp số: thương $q(x)=3x^3+5x^2+56x+169$ , dư $r(x)=1420x+3880$ .

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI

Sơ đồ Horner và phép chia đa thức trên bảng tính