Diện tích hình bình hành - tam giác

BÀI TOÁN 1

Từ một điểm $M$ bên trong tam giác $ABC$ ta vẽ các đường thẳng song song  với ba cạnh tạo thành ba hình bình hành và ba tam giác lần lượt có diện tích $H_1, H_2, H_3, T_1, T_2, T_3$ như hình vẽ.

Chứng minh rằng

$H_1=2\sqrt{T_2T_3}$

$H_2=2\sqrt{T_3T_1}$

$H_3=2\sqrt{T_1T_2}$

CHỨNG MINH

Ta có: $T_2T_3=\dfrac12.EM.EP.\sin A .\dfrac12 DM.DQ.\sin A.$

Theo định lý Thales ta có: $\dfrac{EP}{AP}=\dfrac{EM}{AQ} ⇒ EP=EM.\dfrac{AP}{AQ}$. Tương tự: $DQ=DM.\dfrac{AQ}{AP}$.

Vậy $T_2.T_3=\dfrac14.EM^2.DM^2.\sin^2A=\dfrac14.AD^2.AE^2.\sin^2A=\dfrac14.\left(AD.AE.\sin A\right)^2=\dfrac14.H_1^2$.

Do đó $H_1=2\sqrt{T_2.T_3}$. Các đẳng thức còn lại chứng minh tương tự.    

BÀI TOÁN 2

Từ một điểm $M$ trên cạnh $AC$ của tam giác $ABC$ có diện tích $S$ ta vẽ các đường thẳng song song  với hai cạnh còn lại  thành hai tam giác lần lượt có diện tích $H_1,H_2,H_3,T_1,T_2,T_3$​$S_1, S_2$ như hình vẽ.  Chứng minh rằng $\sqrt{S}=\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}$.

CHỨNG MINH

Gọi h_1, h_2 lần lượt là chiều cao của các tam giác ADM và MEC.

Tam giác ADM đồng dạng với tam giác ABC nên tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Vậy $\dfrac{S_1}{S}=\left(\dfrac{h_1}{h} \right)^2 ⇒ \dfrac{\sqrt{S_1} }{\sqrt{S} }=\dfrac{h_1}{h}$ $\dfrac{S_1}{S}=\left(\dfrac{h_1}{h} \right)^2.$

Tương tự $\genfrac{}{}{0ex}{}{S_2}{S}={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{h_2}{h}\right)}^2\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S}}=\genfrac{}{}{0ex}{}{h_2}{h}$.

Do đó: $\dfrac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2} }{\sqrt{S}}=\dfrac{h_1+h_2}{h}=\dfrac{h}{h}=1$.    

Tóm lại $\sqrt{S_1} +\sqrt{S_2}=\sqrt{S}$   (đpcm)

ÁP DỤNG

Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ nằm bên trong tam giác. Qua $M$ kẻ ba đường thẳng lần lượt song song với ba cạnh của tam giác, chúng chia tam giác $ABC$ thành 3 tam giác nhỏ và 3 hình bình hành. Biết diện tích của ba hình bình hành lần lượt là $H_1 =4,2\ \text{cm}, H_2, =3,5\ \text{cm}, H_3 =6,1\ \text{cm}$. Tính gần đúng chính xác đến hàng phần trăm diện tích của tam giác $ABC$.

$21,21 \ \text{cm}^2$

HƯỚNG DẪN GIẢI.

Gọi tên các hình bình hành và tam giác như trong phần BÀI TOÁN 1.

Ta có: $S=H_1+H_2+H_3+T_1+T_2+T_3$.

Theo chứng minh trên ta có: $\left\lbrace\begin{array}{l}H_1=2 \sqrt{T_2T_3}\\ H_2=2 \sqrt{T_3T_1}\\H_3=2 \sqrt{T_1T_2}\\ \end{array} \right.$suy ra  $\left\lbrace\begin{array}{l}\dfrac{H_1^2}{H_2^2}=\dfrac{T_2}{T_1} ⇔ T_2=T_1\left(\dfrac{H_1}{H_2} \right)^2 \\ H_3=2 \sqrt{T_1T_2}\\ \end{array} \right.$. 
Bấm HOME 63 nhập và giải phương trình   (máy tính tự động gán nghiệm vào x). Bấm HOME 1 tính $T_2$ gán vào y . Bấm HOME 63 nhập và giải phương trình   .

Vậy diện tích tam giác ABC  $\approx 21,21\ \text{cm}^2$ .