Sử dụng giá trị trần và giá trị sàn của một số thực viết dưới dạng thập phân

BÀI TOÁN

HƯỚNG DẪN GIẢI

Trước hết ta có nhận xét số cần tìm $N$ có ít nhất 3 chữ số. Ta tìm 3 chữ số cuối cùng của nó. Xét biểu thức $100a+10b+c$ với a, b, c là 3 chữ số. Ta có nhận xét chữ số đơn vị của $(100a+10b+c)^3$chính là chữ số đơn vị của $c^3$.      Ta có $c=7.$$c=7$

Chữ số chục của $(10x+7)^3$:    Sử dụng bảng giá trị     . Do đó $b=4$.

Chữ số trăm của $(100x+47)^3$:   Sử dụng bảng giá trị    do đó $a=9$.

Vì 3 chữ số đầu của  $x=N^3$ 
 $x$  là $321$ nên  $321.10^n\leqslant x <322.10^n$ . Vì số $x$  $N$ $x$ có ít nhất 6 chữ số nên $n \geqslant 3$. Do bộ nhớ của máy tính   Casio fx-880BTG (20 chữ số ổn định) nên ta chỉ xét $n \leqslant 17$ (tương ứng với số $x$ $N$ có 20 chữ số).

Vậy  $\color{blue} \sqrt[3]{321.10^n} \leqslant \sqrt[3]{x}=N < \sqrt[3]{322.10^n}$    với $3 \leqslant n\leqslant 17$ . Từ đó ta suy ra   $N$chạy từ giá trị trần của $\sqrt[3]{321\mathrm{.}10^n}$ đến giá trị sàn của $\sqrt[3]{322.10^n}$ với $3 \leqslant n \leqslant 7$. 

Sử dụng bảng giá trị cho hai hàm số (giá trị trần $f(x)$ và giá trị sàn (phần nguyên) $g(x)$): $f(x)=-\text{Intg}(-\sqrt[3]{321.10^x}) ; g(x)=\text{Intg}(\sqrt[3]{322.10^x}):$.

Ta liệt kê bảng theo từng trang             .

Các giá trị $x=3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ không hợp lệ (ví dụ nếu $x=13$, ta xét đoạn $[147515;147667]$, đoạn này không chứa số có  3 chữ số tận cùng là 947 (vì số $147947$  nằm ngoài đoạn). 

Số nhỏ nhất thuộc đoạn tiếp theo$[317811;318140]$ mà 3 chữ số tận cùng là $947$ là số $317947$ thoả yêu cầu bài toán.
   

Cụ thể: $\color{blue} 317947^3=32141355963637123$

Vậy số cần tìm là $\color{blue} 317947.$